少しずつ少しずつ、答えに向かって進んでいきたいと思います
ではn個に分けた場合、どう分けると積が最大になるか？
なんとなく二つに分けたとき、等しくなるように分けるのが最大だったことを考えると、どうも全部等しくなるときが積最大になるような気がしますよね
実際に相加相乗平均の関係はn個バージョンで定理として存在します。
つまりn個の正の数a
1,a
2,…,a
nについて、
(a
1+a
2+…+a
n)/n≧
n√(a
1*a
2*…*a
n)（←右辺はn乗根です）
（等号成立はa
1=a
2=…=a
nのときに限る。左辺は算術平均、右辺は幾何平均ともいいます）
が成り立つ、というわけです。
（ＳＨＩＳＨＩ１さん、こいつの証明はここでは省略させてください
今覚えている証明方法は指数関数e^xの下に凸という性質を利用した証明方法ですが、確か帰納法でも証明できたと思います）
ということで、この定理を使えば自信を持って「全部等しくなるように分割すれば積が最大！」と言えます。
したがって「いくつに分けるか」はまだ分かりませんが、とりあえずいくつかに分けたなら、全部等しくなるように分けるのが積が最大となる分け方です。
S=5について見てみると、
一つ（分けるとは言わない？）なら5
二つに分けるなら2.5*2.5=6.25
三つに分けるなら(5/3)*(5/3)*(5/3)=125/27≒4.63
四つに分けるなら1.25*1.25*1.25*1.25≒2.44
五つに分けるなら1*1*1*1*1=1
六つ以上なら積は1より小さいですので考慮しなくていいでしょう。
というわけで、S=5では二つに分けるときに積が最大となり、その最大値は(5/2)^2=6.25と分かりました。
…ここまでくると、(1)(2)はとりあえず1個から9個や27個まで分ければ最大値はどこかにあるだろうことは分かりますので、頑張って電卓を叩くかgoogle計算機能を使うかすれば、これらの答えが分かります
ではn個に分けた場合、どう分けると積が最大になるか？
なんとなく二つに分けたとき、等しくなるように分けるのが最大だったことを考えると、どうも全部等しくなるときが積最大になるような気がしますよね
実際に相加相乗平均の関係はn個バージョンで定理として存在します。
つまりn個の正の数a1,a2,…,anについて、
(a1+a2+…+an)/n≧n√(a1*a2*…*an)（←右辺はn乗根です）
（等号成立はa1=a2=…=anのときに限る。左辺は算術平均、右辺は幾何平均ともいいます）
が成り立つ、というわけです。
（ＳＨＩＳＨＩ１さん、こいつの証明はここでは省略させてください
ということで、この定理を使えば自信を持って「全部等しくなるように分割すれば積が最大！」と言えます。
したがって「いくつに分けるか」はまだ分かりませんが、とりあえずいくつかに分けたなら、全部等しくなるように分けるのが積が最大となる分け方です。
S=5について見てみると、
一つ（分けるとは言わない？）なら5
二つに分けるなら2.5*2.5=6.25
三つに分けるなら(5/3)*(5/3)*(5/3)=125/27≒4.63
四つに分けるなら1.25*1.25*1.25*1.25≒2.44
五つに分けるなら1*1*1*1*1=1
六つ以上なら積は1より小さいですので考慮しなくていいでしょう。
というわけで、S=5では二つに分けるときに積が最大となり、その最大値は(5/2)^2=6.25と分かりました。
…ここまでくると、(1)(2)はとりあえず1個から9個や27個まで分ければ最大値はどこかにあるだろうことは分かりますので、頑張って電卓を叩くかgoogle計算機能を使うかすれば、これらの答えが分かります